Seminar on Morse theory/Seminar über Morse-Theorie

Prof. Bernd Ammann, Dr. Matthias Ludewig,

Language

Talks in the seminar can be given in German or English

For non-German speaking students

Non-German speaking students who are interested in a description of the content of this seminar should contact Bernd Ammann or Matthias Ludewig by email or telephone in order to discuss details.

Content of the Seminar (in German)

Sei f:M→ℝ eine glatte Funktion auf einer kompakten Mannigfaltigkeit M. Die Morse-Theorie studiert die Beziehung zwischen kritischen Punkten von f und der Topologie von M. Wir erhalten eine anschauliche Methode, wie wir komplizierte Mannigfaltgkeiten in einfache Teilstücke zerschneiden können, oder anders ausgedrückt, wir erhalten eine Methode, mit der wir durch Aneinanderkleben von Kreisscheiben beliebige Mannigfaltigkeiten erhalten können.
(Wir verweisen auf die Wikipedia-Seite für einige gute Bilder.)
Die Morse-Theorie hat wichtige Anwendungen in der Differentialgeometrie und Topologie, zum Beispiel Bott-Periodizität für klassische Gruppen; Existenzsätze für geschlossene Geodäten; weitergehende Anwendungen sind die höher-dimensionale Poincaré-Vermutung; Anwendungen auf symplektische Geometrie.
Die grundlegenden Sätze der Morse-Theorie (Kapitel I (Abschnitt 1-7) in Milnors Buch) werden in den ersten Vorträgen erarbeitet. Die weiteren Vorträge sind Anwendungen gewidmet. Wir betrachten hier vor allem die Existenz von geschlossenen Geodätischen (Kapitel III in Milnors Buch).

Talks in the seminar

(Description given in German, for English version, please ask).

Daten (15 Sitzungen): 17.10., 24.10., 31.10., 7.11., 14.11., 21.11., 28.11., 5.12., 12.12., 19.12., 9.1., 16.1., 23.1., 30.1., 6.2.,

Die Angaben zu Vortrag 13-15 sind vorläufig.

1. Vortrag Überblick, Definitionen, Morse-Lemma
(Quelle: [Mi1] Kapitel I §2, S. 4--11)

2. Vortrag Homotopie-Typ und kritische Werte I
(Quelle: [Mi1] Kapitel I §3, S. 12--19)

3. Vortrag Homotopie-Typ und kritische Werte II, Anwendungen
(Quelle: [Mi1], Kapitel I §3-4, S. 20-27

4. Vortrag
Morse-Ungleichungen, Existenz von Morse-Funktionen
(Quelle: [Mi1], Kapitel I §5-6, S. 28-38)

5. Vortrag
B. Ammann Riemannsche Geometrie
Überblick über einige noch benötigte Sätze der riemannschen Geometrie
(Quelle: [Mi1], Kapitel II, §10, S. 55-66)

6. Vortrag Hessesche der Energie und Morse-Index-Theorem auf dem Pfadraum
(Quelle: [Mi1], Kapitel III §13 und §15)

7. Vortrag Endlich-dimensionale Approximation und Topologie des Pfadraums
(Quelle: [Mi1], Kapitel III §16-17)

8. Vortrag Topologie und Krümmung
(Quelle: [Mi1], Kapitel III §18-19, S. 98 -- 108)

9. Vortrag Symmetrische Räume und Lie-Gruppen
(Quelle: [Mi1], Kapitel IV §20-22, S. 109 -- 123)

10. Vortrag Bott-Periodizität für die unitäre Gruppe
(Quelle: [Mi1], Kapitel IV §23, S. 124-- 132 )

11. Vortrag Bott-Periodizität für die orthogonale Gruppe
(Quelle: [Mi1], Kapitel IV §24, S. 133-- 146 )

12. Vortrag Überblick und Ausblick Dieser Vortrag fasst das bisherige nochmals zusammen, wird erst später festgelegt und vergeben.

13. Vortrag Die Smale-Bedingung
Ziel des Vortrags ist es, Theorem 2.2.5 in [AD] zu präsentieren und zu beweisen. Die Aussage sollte an Hand eines guten Beispiels verdeutlicht werden, z.B. den Torus in [AD,2.2.d], bei Zeitknappheit evtl. Beweisteile der Lemma 2.2.8 und 2.2.9 nur skizzieren. Alternative Quellen sind [Sm2, Theorem A] und [Mi2,Theorem 5.2].

14. Vortrag Der Morse-Komplex
Das zentrale Thema des Vortrags ist Abschnitt 3.1 von [AD]. Anschließend sollte noch [AD] Theorem 3.4.2 erklärt werden und dessen Beweis skizziert werden. Man sollte sich auf Werte in Z/2Z beschränken, die ganzzahlige Version [AD, 3.3] wird nicht benötigt.

15. Vortrag Morse-Homologie
Wir wollen Morse-Homologie definieren und einige Eigenschaften diskutieren: Künneth-Formel, Poincaré-Dualität, Euler-Charakteristik, Poincaré-Polynom, Morse-Ungleichungen
(Quelle: [AD] Abschnitte 4.1-4.4)

Hier ist das Programm als pdf.

Literature

[Mi1]

J. Milnor Morse Theory
Princeton University Press (1963)

[AD]	M. Audin, M. Damian Morse theory and Floer homology

Ergänzende Literatur:

[Mi2]

J. Milnor Lectures on the h-Cobordism Theorem

[Sa]	D. Salamon Morse theory, the Conley index and Floer homology Bull. London Math. Soc. 22 (1990) 113-140

[Sm1]

S. Smale Morse inequalities for a dynamical system
Bull. Amer. Math. Soc. 66 (1960), 43-49

[Sm2]

S. Smale On gradient dynamical systems
Ann. of Math. (2) 74 1961 199–206.

Requirements

Analysis I, II und IV,
Lineare Algebra I + II
Differential Geometry I (can be followed in parallel)

Time and Place

Tuesday 14-16 in M101

Organisational meeting

Preliminary meeting and distribution of talks:
Wednesday, July 19, 14:15 in the "Sitzungszimmer der Mathematik", M201

Program

The program of the seminar.

Registration

Come to the organisational meeting (see above).
Please also register in G.R.I.P.S., as we send announcements via this system.

Related web pages

Formal requirements

see KVV

Bernd Ammann, 20.09.2023
Impressum und Datenschutzerklärung

1. Vortrag	Überblick, Definitionen, Morse-Lemma (Quelle: [Mi1] Kapitel I §2, S. 4--11)
2. Vortrag	Homotopie-Typ und kritische Werte I (Quelle: [Mi1] Kapitel I §3, S. 12--19)
3. Vortrag	Homotopie-Typ und kritische Werte II, Anwendungen (Quelle: [Mi1], Kapitel I §3-4, S. 20-27
4. Vortrag	Morse-Ungleichungen, Existenz von Morse-Funktionen (Quelle: [Mi1], Kapitel I §5-6, S. 28-38)
5. Vortrag B. Ammann	Riemannsche Geometrie Überblick über einige noch benötigte Sätze der riemannschen Geometrie (Quelle: [Mi1], Kapitel II, §10, S. 55-66)
6. Vortrag	Hessesche der Energie und Morse-Index-Theorem auf dem Pfadraum (Quelle: [Mi1], Kapitel III §13 und §15)
7. Vortrag	Endlich-dimensionale Approximation und Topologie des Pfadraums (Quelle: [Mi1], Kapitel III §16-17)
8. Vortrag	Topologie und Krümmung (Quelle: [Mi1], Kapitel III §18-19, S. 98 -- 108)
9. Vortrag	Symmetrische Räume und Lie-Gruppen (Quelle: [Mi1], Kapitel IV §20-22, S. 109 -- 123)
10. Vortrag	Bott-Periodizität für die unitäre Gruppe (Quelle: [Mi1], Kapitel IV §23, S. 124-- 132 )
11. Vortrag	Bott-Periodizität für die orthogonale Gruppe (Quelle: [Mi1], Kapitel IV §24, S. 133-- 146 )
12. Vortrag	Überblick und Ausblick Dieser Vortrag fasst das bisherige nochmals zusammen, wird erst später festgelegt und vergeben.
13. Vortrag	Die Smale-Bedingung Ziel des Vortrags ist es, Theorem 2.2.5 in [AD] zu präsentieren und zu beweisen. Die Aussage sollte an Hand eines guten Beispiels verdeutlicht werden, z.B. den Torus in [AD,2.2.d], bei Zeitknappheit evtl. Beweisteile der Lemma 2.2.8 und 2.2.9 nur skizzieren. Alternative Quellen sind [Sm2, Theorem A] und [Mi2,Theorem 5.2].
14. Vortrag	Der Morse-Komplex Das zentrale Thema des Vortrags ist Abschnitt 3.1 von [AD]. Anschließend sollte noch [AD] Theorem 3.4.2 erklärt werden und dessen Beweis skizziert werden. Man sollte sich auf Werte in Z/2Z beschränken, die ganzzahlige Version [AD, 3.3] wird nicht benötigt.
15. Vortrag	Morse-Homologie Wir wollen Morse-Homologie definieren und einige Eigenschaften diskutieren: Künneth-Formel, Poincaré-Dualität, Euler-Charakteristik, Poincaré-Polynom, Morse-Ungleichungen (Quelle: [AD] Abschnitte 4.1-4.4)