The Yamabe problem and positive mass theorem

The lecture is a continuation of my lecture on The Yamabe problem in the summer term 2018 in Regensburg. For further information I refer to this web page.
The joint script of both semesters is available here.

Content of the lecture (in German)

Das Yamabe-Problem ist das folgende: Gegeben sei eine kompakte Mannigfaltigkeit M mit einer fixierten konformen Klasse. Zu finden ist eine Metrik in dieser konformen Klasse mit konstanter Skalar-Krümmung. Das Problem reduziert sich auf eine elliptische partielle Differentialgleichung vom Typ Δ u + h u = λ up.

Derartige Differentialgleichungen sind im linearen Fall (p=1) gut verstanden, ebenfalls, wenn p nicht zu groß wird. Im Yamabe-Problem hat der Exponent p aber gerade den Wert, bei dem sich die analytischen Methoden ändern.

Wir haben im Sommersemester gesehen, dass das Problem eine Lösung besitzt, falls die Yamabe-Konstante von M kleiner als die Yamabe-Konstante der runden Sphäre ist. Wir zeigen nun, dass diese Bedinung immer erfüllt ist, sobald M nicht konform äquivalent zu einer runden Sphäre ist.

Ein wichtiger Bestandteil des Beweises ist das Theorem der positiven Masse aus der Allgemeinen Relativitätstheorie. Dieses besagt anschaulich gesprochen, dass die Gesamtmasse eines Raums mit nicht-negativer Massendichte nie negativ sein kann. Hinter diesem mathematisch zu präzisierenden Satz steckt ein wichtiges mathematisches Theorem, das in voller Allgemeinheit erst in den letzten Jahren gezeigt werden konnte.

Formal information

Any kind of formal information can be obtained form the page on the KVV (Kommentiertes Vorlesungsverzeichnis).

Literature

See my lecture on The Yamabe problem in the summer term 2018 in Regensburg.
Bernd Ammann, 26.06.2018 or later
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