Elle est prochement lie a la gémetrie symplectique qui est utile pour la mecanique classique de la physique et a la gémetrie pseudo-riemannienne qui est indispensable pour expliquer proprement la relativite generale.
Dans beaucoup d'applications, on a de la structure supplementaire sur une vari\'ete, par exemple une structure complexe, un objet qui correspond a passer de R2n a Cn, et on est arrive a la gémetrie complexe.
Autres mathematicien regardent des variétés en oubliant la possibilite de mesurer des distances. On arrive a un ensemble topologique sur lequel on a quand encore la possibilite de deriver les fonction. Ces objets, les variétés différentielles. Si on etude ces variétés (sans possibilite de mesurer les longueurs) on est arrive a la topologie.
Après cette introduction de manière générale, on va se spécialiser dans une direction. Une éducation générale ne vous servirait pas beaucoup sans spécialisation.
On peut apprendre de plus en plus de la theorie, meme jusqu'a la retraite sans vraiment avoir commencé a faire des vrais mathématiques, c'est a dire de se mettre à la table et de démontrer un resultat qui interessera les experts. Et de demontrer un resultat non-trivial, mais utile, qui est joli et qui a des liens a d'autres domaines, mais qui est quand meme maitrisable est le devoir des jeunes qui veulent entrer la recherche. Pas simple, mais c'est comme dans une longue randonnée en montagne, il faut faire pas après pas.
Dans notre equipe nous nous interessons beaucoup pour les problèmes analytiques sur les variétés. Il y a plein de problèmes dans la physique moderne pour lequel il est indispensable de mieux maitriser cette analyse. Nous, comme mathematicien n'allons pas comprendre toutes les raisons pourquoi les physiciens s'interessent pour une structure ou une autre, mais quand meme on peut creuser la theorie pour que ca puisse etre utile en physique. Prenons par exemple la physique des cordes. Les physiciens pensent que c'est raisonable que notre monde a 11 dimensions -- au niveau des particules beaucoup plus petit que les quarks. Mais notre espace a 3 dimension, et si on le reunit avec le temps on obtient 4 dimensions. Mais ou sont les 7 dimension qui manquent? On suppose en physique que notre monde est l'espace total d'une fibration telle que chaque fibre est une variété riemannienne qui porte un spineur parallèle.
Mais: il y a plein de question ouvertes. Par exemple jusqu'a la publication cet article de Dominique Joyce on ne savait pas si des telles variétés existent.
Ceci est seulement un exemple ou les spineurs ont une importance centrale dans la gémetrie différentielle moderne.
Dans la deuxième partie du cour on aimerait regarder plusieurs applications de la théorie des spineurs. Le choix final des application n'est pas encore fait: cela dépend des vos interets et du nombre des participants. Le choix final depend egalement si vous voulez faire une thèse en gémetrie differentielle, ou si vous écoutez le cours surtout pour obtenir une bonne base pour bien commencer une thèse dans un domaine voisin.